은둔고수의 지식나무

[수학의 개념이란 무엇인가?]

수학을 잘 하는 방법이란 개념을 이해하고 그것을 적용, 응용하는 것이란 말을 많이 들어봤을 것입니다.

그렇다면 수학의 개념이란 무엇일까요? 그리고 개념을 이해했는데 왜 나는 수학을 잘 하지 못하는 것일까요?

수학을 잘 하는 방법은 따로 있지 않습니다.

개념을 잘 이해하는 것입니다. 수학의 개념은 공부를 못하는 학생들도 이해하기 쉽습니다.

하지만 바로 여기서 문제점이 발생합니다.

따라서 이번 시간에는 수학적 개념이란 무엇인지, 자신이 정말 개념을 잘 이해했는지 점검하는 방법을

알아보도록 하겠습니다.

#1. 수학의 개념이란 무엇인가?

앞선 포스팅에서 수학이란 어떤 의미를 숫자와 약속된 기호로 간결하게 나타낸 것이라 이야기했습니다.

그렇다면 "어떤 의미"란 무엇일까요?? 그건 바로 개념입니다.

개념이란 어떤 의미를 설명한 것으로 공부를 못하는 학생들도 이해하기 쉽습니다. 하지만 너무 쉽고, 뻔한 이야기라서

한 귀로 듣고 흘리게 됩니다. 하지만 이것이 바로 여러분이 수학을 못하는 원인입니다.

즉 여러분이 가볍게 넘긴 것들이 여러분의 수학 실력을 가볍게 만든다는 것입니다.

부실한 기초가 적으면 다시 시작할 수 있으나 부실한 기초가 많아지면 그 잔해를 치우는 것만으로 오랜 시간이 걸려

기초를 다시 쌓고 싶어도 시간적 여유가 없어 다시 시작하기 힘들다는 것입니다.

따라서 개념을 제대로 이해하고 그 중요성을 고민해 보는 것은 매우 중요합니다.

#2. 수학 개념의 예

중등 1학년 2학기의 내용을 예로 들어 보겠습니다.

1학년 2학기 중반이 지나면 '원과 부채꼴'이라는 내용을 배웁니다.

그러면 원의 개념과 정의를 한번 보도록 하겠습니다.

원의 정의 : 평면 위의 한 점으로부터 일정한 거리의 모든 점으로 이루어진 도형

즉 한 점을 찍고 거기서부터 일정한 거리를 가진 점들을 연결한 도형이 원이고 이게 원의 개념 정의입니다.

그래서 원을 그릴 때 컴퍼스라는 도구를 사용할 수도 있습니다. 

참 쉽습니다. 그래서 보통 '내가 원의 개념에 대해 이해했구나'하고 끝이 납니다.

하지만 그것은 원의 개념에 대해 제대로 이해했다는 의미가 아닙니다. 원의 개념에는 많은 정보가 숨어 있습니다.

그 정보를 떠올릴 수 있어야 비로소 원의 개념에 대해 바로 이해한 것입니다.

#3. 수학의 개념과 이해의 점검

그럼 이제부터 원의 개념에 숨어 있는 많은 의미들 중 몇 가지를 떠올려 보겠습니다.

1. 원과 부채꼴의 앞 단원에서 배웠던 점이 모이면 선이 된다.

2. 원 내부에 수없이 많은 직선을 그을 수 있다.(곧 선이 모이면 면이 된다.)

3. 원의 한쪽 둘레의 한점에서 다른 쪽 둘레의 점들로 많은 직선을 그을 수 있다.

4. 지름은 원의 한쪽 둘레의 한점에서 다른 쪽 둘레의 한점으로 그은 직선 중 가장 긴 직선이다.

5. 도형은 반드시 평면 위에서만 정의 내릴 수 있다.

6. 우리가 알고 있는 원의 지름이란 원의 중점에서 양쪽으로 선을 그은 그 합이다.

7. 원은 한 점에서 일정한 거리에 있는 점들이 모인 도형이기 때문에 원의 곡면은 일정하다.

등등 이 외에도 많은 것들이 그 개념에 포함되어 있습니다.

따라서 단순한 설명만 이해하는 것보다 이와 같이 개념에 들어가 있는 여러 가지 의미들을 떠올 수 있을 때

진정 개념에 대해 이해를 했다고 할 수 있습니다.

그럼 이제 자신이 개념을 잘 이해했는지 이해 못 했는데 이해한 것으로 착각했는지 느껴지나요?

이런 이해가 없는 과정에서는 시간이 지나면 금세 잊어 비리게 되고, 응용은 더욱 어렵습니다.

따라서 개념을 이해하는 올바른 방법과 점검하는 습관을 갖는 연습을 해야 합니다.

수학의 개념에 대한 올바른 이해는 아무리 강조해도 지나치지 않습니다. 개념에 대해 확실하게 이해한다면

그 개념과 관련된 더 높은 수준 학년의 문제 풀이도 가능합니다. 또한 수학 문제의 응용은 무궁무진합니다. 

따라서 많은 문제 풀이를 통해 응용문제에 대처한다는 것은 한계가 있습니다.

하지만 한가지 개념을 확실히 이해하면 무한한 응용의 바다에서 허우적거리는 일은 줄어들게 됩니다.

[수학을 공부해야 하는 이유]

"시장에 가서 콩나물 값만 계산할 줄 알면 되는데 왜 수학을 공부해야 되는지 모르겟어요"

보통 이런 이야기를 많이 합니다. 그리고 이런 이야기를 하는 학생들의 공통점은 수학을 어려워하거나 못하는 학생입니다.

어떤 과목이든 잘 하면 좋습니다. 하지만 다른 과목들에 비해 수학을 잘 하면 좋은 점들이 상당히 많습니다.

그럼 왜 그런지 그 이유에 대해 알아보겠습니다.

#1. 빠른 시간에 성적 올리기 힘든 과목 수학

국, 영, 수, 과, 사회의 과목 중 수학을 제외한 과목들은 과목 특성상 많이 접하고, 외우고, 풀면 빠른 시간 안에 효과가

나타납니다.

하지만 수학은 저학년 때 배운 내용을 바탕으로 계속해서 개념의 이해와 확장, 추가, 응용이 필요한 고차원의 세계로

가기 때문에 과거의 배움이 부실하거나 현재의 공부가 부족하면 시간이 지날수록 성적은 떨어지고 포기하게 됩니다.

따라서 지금 수학을 못한다면 앞으로 쭉 못할 가능성은 100%입니다.

만약 지금 수학 성적이 심각하다면 늦기 전에 앞의 내용부터 다시 시작해야 하고, 현재 수학이 어렵다면 뭔가 다른 방법을

찾아 수학을 잘 할 수 있도록 꾸준히 노력해야 합니다.

#2. 많은 이들이 포기하는 수학

보통 중등 1학년 ~ 3학년 사이에 학생의 50%가 수학을 포기하거나 실력이 정체가 됩니다.

그리고 또 고등 1학년 ~ 3학년 사이에 학생의 50%가 수학을 포기하거나 실력이 정체가 됩니다.

그만큼 수학을 잘 하기가 어렵다는 것입니다. 하지만 반대로 본인이 수학을 잘 하게 되면 다른 과목을 못해도

전체 성적에서 상대적 우위를 가지게 됩니다.

나는 남들이 쉽게 성적을 올리지 못하는 수학을 잘하고 수학에 비해 상대적으로 성적 올리기 쉬운 과목들의

성적만 올리면 되기 때문입니다.

여러분이 좋아하는 게임에 비유하자면 남들이 가지고 있지 않은 레어 아이템이나 영웅을 가지고 게임하는 것과 같고

최신 유행하는 신상 신발이나 옷을 입고 친구들과 만나는 것과 같습니다.

#3. 탄탄히 다져 놓으면 쉽게 떨어지지 않는 수학 성적

암기 과목의 경우 공부를 하지 않으면 성적이 금방 떨어지게 됩니다. 

하지만 수학 성적은 금방 올리기가 어려울 뿐 일단 한번 실력을 잘 다져놓으면 공부시간이 부족해도 쉽게 성적이

떨어지지 않습니다.

따라서 한국이 동계 올림픽에서 쇼트트랙을 메달 밭이라고 하듯이 전체 과목의 성적에서 득점을 할 수 있는 주득점 과목으로

할 수가 있습니다.

#4. 남들보다 훨씬 넓어지는 대학 선택의 폭

윗부분에 언급했지만 고학년으로 올라갈수록 수학을 포기하는 학생들은 늘어납니다.

그리고 다른 과목을 잘 하는 학생들은 많습니다. 하지만 다른 과목의 성적이 좋아도 수학 성적이 나빠 대학을

선택할 때 어쩔 수 없이 수학 점수의 반영 비율이 낮은 학교를 선택하거나 원하는 대학에 지원한다 하여도

수학 성적으로 인해 불합격되는 경우가 많습니다.

따라서 수학을 잘 하면 그 자체로 많은 경쟁자들과의 경쟁에서 우위를 점할 수 있으며 전체 과목을 동일한 성적으로

대학을 지원했을 때 수학 성적의 가중치가 있는 대학 지원에서도 유리합니다. 대학 진학뿐만이 아닙니다.

고등학교 진학에서 특목고의 경우에도 수학 성적에 가중치를 두는 학교들이 많습니다.

#5. 대학에서도 필요한 수학

좋은 대학과 학벌을 강조하는 풍조 때문인지 학생들은 좋은 대학만 가면 모든 것을 가진 듯 생각하지만 그렇지 않습니다.

진정한 공부는 대학부터 시작입니다. 그리고 문과생 중 경영, 경제, 금융, 회계, 마케팅, 통계 등등 넓은 의미의

경제, 경영과 조금이라도 관련된 학과의 지망생은 지수/로그, 미적분, 확률, 통계, 함수 등을 알지 못하면 대학 공부에서

남들보다 고생이 심합니다. 

이공계 학생의 경우는 대부분 전공과목의 근간이 수학이기 때문에 두말할 필요가 없겠지요.

따라서 부실한 수학 실력은 수학 과외 알바를 해도 모자랄 판국에 오히려 대학생이 수학학원이나 수학 과외 수업을 받는

불행한 사태를 초래할 수 있습니다.

요즘 문/이과 가릴 것 없이 많은 대학 신입생들이 따로 고등학교 수학을 다시 공부하거나 수학 학원을 다니고

과외 수업을 받는 경우가 생각보다 많습니다.

#6. 실생활과 밀접하고 많은 문제 해결의 열쇠가 되는 수학

의식하지 못할 뿐 수학은 이미 우리 생활과 밀접한 관련이 있습니다. 

버스와 지하철의 배차 간격에 확률과 통계가 들어가 있으며 공장에서 물건을 생산하기 위해 여러 가지 재료를 구매하고

원료의 배합과 그에 따른 생산 수량 계산에도 수학이 들어가 있습니다.

가깝게는 가계의 수입과 지출, 저축했을 때 이자율 계산에도 수학이 들어가 있으며 우리가 다쳤을 때를 대비해 가입하는

보험에도 수학의 원리를 활용합니다. 또한 앞으로 살아가면서 부딪히게 될 어려운 문제들을 해결하기 위해서는 한 차원

높은 지식이 필요하게 됩니다. 이때 수학을 공부하며 깨우친 요령이나 수학 자체를 이용해 문제를 해결할 수 있습니다.

수학을 왜 공부해야 되는지 이해가 가셨나요? 위에 언급한 것뿐 아니라 수학을 잘 하면 장점이 정말 많습니다.

그러니 수학을 쉽게 포기하지 마시고 어떻게 하면 잘할 수 있을까 고민해보세요.

고민하고 노력하는 만큼 여러분의 수학 성적은 올라갈 것입니다. 

​

[수학이란 무엇인가?]

'수포 대포, 영포 직포, 책포 인포'(수학을 포기하면 대학을 포기하는 것, 영어를 포기하면 직장을 포기하는 것, 

책을 포기하면 인생을 포기하는 것)이라는 말이 있듯이 

대부분 대학들이 문과, 이과 상관없이 수학의 반영 비율이 높은 편이므로

여러분 앞에 가장 중요한 대학 진학을 위해 수학은 굉장히 중요합니다.

그렇다면 혹시 수학이란 무엇일까란 생각을 해본 적이 있나요?

특별히 학교에서 수학이란 무엇인지 써오라는 과제를 내주지 않았다면 대개 생각해 본 적이 없을 것입니다. 

그러나 수학이란 무엇인지 한 번쯤 생각해 보는 것은 필요합니다. 

알고 하는 수학과 생각 없이 문제만 반복해서 푸는 수학은 큰 차이가 있기 때문이죠.

그럼 이제 수학이란 무엇인가에 대해 알아보도록 하겠습니다.

1. 수학이란 무엇인가?

수학에 대해 한 번쯤 생각해 봤다면 사칙연산을 이용해 답을 찾는 과목, 각종 기호와 숫자가 얽히고설켜 있는 과목

계산을 통해 정해진 답을 구하는 과목 등의 단순한 대답과 논리, 추론, 대수, 기하, 역학 등

다양한 용어나 개념들이 포함된 고차원적 대답이 가능합니다.

모두 맞는 말입니다. 하지만 이는 수학의 일부분만 표현한 것입니다.

왜냐하면 수학은 어떤 내용을 기호와 숫자를 이용하여 약속된 방식으로 가장 간단하게 표현한 다른 종류의 언어이고

그 언어를 독해하는 것이기 때문입니다.

또한 문제를 푸는 것은 수학이라는 언어가 이야기하고 있는 지향점을 찾아내는 것입니다.

2. 수학에서 식을 세우는 것의 의미

수학을 하나의 언어라고 한다면 문제를 읽고 식을 세우는 것은 영어에 비유한다면 작문을 하는 것과 같습니다.

영어 작문을 할 때 일정한 규칙이 있듯이 식을 세울 때도 각 기호의 의미와 약속된 방식에 맞게 식을 세우기 때문입니다.

따라서 올바르게 세워진 식은 우리가 찾고자 하는 지향점(답)을 쉽게 찾아갈 수 있게 하지만 약속과 규칙에 어긋나는 식은

우리가 목적지에 도달하는 것을 방해합니다.

3. 수학도 독해 과정이 있다?

수학이 또 다른 언어이기 때문에 수학도 독해의 과정이 필요합니다. 

첫 번째 독해 과정은 문제의 의미를 파악하는 것입니다. 문제를 읽었는데 연산식을 세울 수 없다는 것은

독해를 잘 못했다는 것입니다. 즉, 의미 파악을 전혀 못했다는 것이죠.

그리고 두 번째 독해의 과정은 연산식에서 기호의 의미를 파악하는 것입니다.

예를 들어 f(x) = 3X + 5 라는 간단한 식이 있습니다.

하지만 이 식이 담고 있는 정보는 식의 꽤 많습니다.

우선 f(X) 라는 기호에서 우리는 이 식이 함수식이라는 사실을 알 수 있습니다. 그리고 X 는 독립변수 값이고

X 에 어떤 변수를 넣느냐에 따라 f(X) 값이 결정되기 때문에 f(X) 값은 종속변수라는 것입니다.

또한 X 값의 범위가 수체계에 어느 부분이냐에 따라 평면 좌표에 전체적으로 직선이나 점선으로 나타낼 수 있는 것

등입니다.

따라서 기호가 무엇을 의미하고 어떻게 하라는 것인지 파악하는 것은 곧 독해를 하는 것입니다.

이 두 가지 독해 능력이 어느 정도 수준에 이르지 않으면 수학 실력의 향상은 어렵습니다.

수학은 시대에 따라 변해왔고 또 변해가고 있습니다. 그러므로 수학이 무엇인지 한 문장으로 정의하는 것은 

어쩌면 어리석은 것 일수 있습니다. 또한 시대가 흐를수록 수학의 분야는 더욱 다양해지고 세분화될 것입니다.

왜냐하면 시대가 요구하는 수학의 흐름이 분명히 있을 것이기 때문입니다.

따라서 본인의 수학 성적 향상을 위해 수학의 정의가 무엇인지 정해진 개념처럼 외우기보다는 

본인의 관점에서 한 번쯤 생각해보는 시간을 갖기를 바랍니다.